一正态分布及渐近正态分布（第1页）

一、正态分布及渐近正态分布

这是指样本统计量为正态分布或接近正态分布的两种情况，凡符合这两种情况的分布，都可根据正态分布的概率进行统计推论。以平均数为例，有下述情形。

（一）样本平均数的分布

1.总体分布为正态，方差（σ2）已知，样本平均数的分布为正态分布

由上可知，样本平均数的平均数与母总体的平均数相同，样本平均数的标准误与母总体的标准差成正比，而与样本容量n成反比。样本容量越大，标准误就越小。

图6-9母总体与样本平均数分布的比较

如果横坐标都用总体随机变量的测量单位表示，则总体正态分布低阔，而样本平均数的分布高狭，高狭的程度与样本大小有关。如图6-9。

但不论母总体的分布还是样本平均数的分布，都可通过求标准分数，将各自的正态分布形式转换成相同的标准正态分布。样本平均数的标准分数，可写作：

2.总体分布非正态，但σ2已知，这时当样本足够大时（n＞30），其样本平均数的分布为渐近正态分布。

接近正态分布的程度与样本n及总体偏斜程度有关。样本n越大，接近得就越好或总体偏态越小，接近的程度越好。当偏斜较大时，n越大，才接近正态分布。这是中心极限定理内容之一，概率论中早已有证明。其样本分布的平均数与标准差，与总体的μ及σ之间，也有下述关系：

（二）方差及标准差的分布

依随机取样的原则，自正态分布的总体中抽取容量为n的样本，当n足够大时（n＞30），样本方差及标准差的分布，渐趋于正态分布，这时，其分布的平均数与标准差与母总体的σ2和σ的关系，可近似地表示如下：

除以上所说的几种统计量的分布为正态分布或渐近正态分布外，还有多种统计量的分布也为正态分布或渐近正态分布，如两样本平均数之差的分布（χ2已知）、相关系数的分布，比率的分布等等，将在后面有关章节介绍。

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