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百枚铜钱鼓士气

北宋皇祐年间，广西的侬智高起兵反宋，自称仁惠皇帝。朝廷几次派兵征讨，均大败而归。此时，大将狄青自告奋勇，要去征讨反贼。宋仁宗十分高兴，任命他为主帅。但是因为前面几次征讨都失败了，士兵的士气不高。为了振奋士气，狄青想出了一个办法。他率兵刚出桂林，就到神庙里拜神，祈求神灵保佑，然后拿出100枚铜钱，当着全体官兵的面祝告：“如果上天保佑这次打胜仗，那么我把这100枚铜钱扔到地上时，请神灵使铜钱全都正面朝上。”在众目睽睽下，狄青扔下了100枚铜钱。待铜钱落地，众人便迫不及待地上前观看。不可思议的是，百枚铜钱竟真的全部正面朝上。士气大振，狄青也最终大胜而归。

关键词：全概率公式

袋中装有50枚正品硬币，50枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一枚，将它投掷10次。已知每次都得到国徽，则这枚硬币是正品的概率是多少？

硬币要么是正品，要么是次品。若是正品，则每次掷出国徽的概率为0.5，掷10次都是国徽的概率为（0.5）10=0.009765625。若该硬币是次品，则每次掷出国徽的概率为1，所以10次掷出的都是国徽的概率为1。

由全概率公式，掷10次都是国徽的概率为0.5×（0.5）10+0.5×1≈0.500488。即如果袋中的硬币是一半正品一半次品的话，掷10次都是正面的概率约为0.5。

已知10次都得到国徽，则这枚硬币为正品的概率可以使用贝叶斯公式求出：

这是个小概率事件。

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